イジングモデル

イジングモデルの概要

2次元正方格子上のイジングモデルのハミルトニアンは次のように定義される。

ここで は格子点 上のスピン、 は強磁性結合定数、 は最近接格子点対の和を表す。

秩序変数

系の秩序を特徴づける磁化密度 を定義する。

が 1 に近いほどスピンが揃っており（強磁性相）、0 に近いほど無秩序（常磁性相）である。

相転移と臨界温度

2次元正方格子イジングモデルの臨界温度は Onsager (1944) により厳密に求められている。

で自発磁化が生じ（強磁性相）、 で磁化が消失する（常磁性相）。

メトロポリス法

熱平衡状態のサンプリングにはメトロポリス・アルゴリズムを用いる。

1. ランダムにスピン を1つ選ぶ
2. スピンを反転させたときのエネルギー変化 を計算する
3. 以下の確率でスピンを反転する

ステップ 2 のエネルギー変化は

で与えられ、ステップ 3 の反転確率は

である。

回のスピン反転試行を 1 Monte Carlo Sweep (MCS) と定義する。

の計算では周期境界条件を使用し、最近接4格子点の和をとる。

参考文献

1. L. Onsager, “Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an Order-Disorder Transition”, Phys. Rev., Vol. 65, pp. 117-149 (1944)
2. N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, E. Teller, “Equation of State Calculations by Fast Computing Machines”, J. Chem. Phys., Vol. 21, pp. 1087-1092 (1953)